O que é uma função do primeiro grau?

Sendo direto: função do primeiro grau é aquela em que a variável “x” tem o expoente igual a “1”.

Exemplo: 2x + 3. Note que a variável “x” não tem nenhuma notação de número no expoente. Logo, esse expoente é igual a 1.

Veja agora a diferença: 2x² + 3. A variável “x” está elevada a “2”. Então, dizemos que essa é uma expressão do segundo grau. Se a esta associamos um valor y=f(x)= 2x² + 3, ai chamamos de função do segundo grau.

E o mesmo vale para a expressão 2x³ + 3 . Neste caso, dizemos que a expressão é de terceiro grau, já que a variável “x” está elevada ao expoente 3.

Resumindo, toda expressão do primeiro grau a uma variável  pode ser descrita como sendo do tipo: ax + b, sendo “a” e “b” pertencente ao conjunto dos números reais, em que o “a” é chamado de “coeficiente angular da reta”, “x” é a variável e “b” é a constante ou coeficiente linear.

Mas o que isso significa exatamente?

Para explicar melhor o que cada parte de uma expressão do primeiro grau significa, vamos recorrer aos gráficos das funções do primeiro grau. Obs: não confundir equação do primeiro grau com função do primeiro grau.

Equação do primeiro grau, como o nome sugere, é uma equação, ou seja, uma igualdade. Ex.: 4x + 15 = 0. E com essa igualdade nós conseguimos fazer as contas para determinar o valor de “x”.

A função, por sua vez, é a relação que associa  a cada valor de x o correspondente resultado da expressão. Portanto, a função associa duas ou mais dessas grandezas. É a lei que diz como uma grandeza varia em função de outra (ou seja, qual o resultado que eu posso obter com determinado valor associado ao “x”)

No final das contas, toda função é regida por uma lei, que se expressa algebricamente, por exemplo, em uma função do primeiro grau,  que pode ser descrita algebricamente na forma f(x) = 4x + 15. Isso significa que, para saber qual o resultado de qualquer valor para “x”, basta substituí-lo na equação.

Ex.: para saber o valor de f(x) quando este for igual a 5:

f(5) = 4*5 + 15.

F(5) = 35

Bom, agora que sabemos disso, vamos estudar os gráficos das funções do primeiro grau para explicar direitinho o que são aqueles coeficientes na expressão  ax + b do qual falamos no início.

Gráfico de uma função

O gráfico de uma função, qualquer que seja ela, é uma curva, que é uma representação gráfica do comportamento esperado quando substituirmos o “x” por um conjunto de números qualquer.

Assim, toda função f(x) pode ser representada graficamente. Exemplo: a função f(x) = 3x + 1 tem a seguinte representação gráfica:

Já a função f(x) = 2x² + 5x + 2 tem a seguinte representação gráfica:

Enquanto a função f(x) = 2x³ + 12x² + 3x + 2 tem o seguinte gráfico:

Notou que, conforme mudamos as funções de primeiro para segundo ou terceiro grau, os “desenhos” das curvas se alteram?

Pois bem, assim podemos concluir que cada função tem uma curva característica. E a curva que veremos aqui neste artigo é a das funções de primeiro grau: a reta. Sendo assim, o esboço do gráfico é efetuado delimitando dois pontos distintos da reta (por dois pontos distintos do plano passa uma única reta). 

Gráfico de uma função do primeiro grau

As funções de primeiro grau são sempre representadas por retas. Essas retas, no entanto, podem ser diferentes em vários aspectos, tais como inclinação, intersecção no eixo Y ou no eixo X. E é agora que nós vamos estudar sobre os coeficientes “a” e “b” presentes na expressão ax + b que vimos anteriormente.

Podemos dizer que “a” é o coeficiente angular da reta; “x” é a variável; “b” é a constante ou coeficiente linear.

Vamos falar agora detalhadamente sobre esses elementos.

Coeficiente angular da reta

O elemento “a”, o coeficiente angular da reta, vai nos mostrar a inclinação da reta, que pode ser maior ou menor, positiva ou negativa. Veja nos exemplos abaixo:

Em todos os exemplos acima, a única coisa que mudou foi o valor de “a”. Quando “a” é positivo, temos uma função crescente (ver exemplos 1 e 2). Quando “a” é negativo, temos uma função decrescente (ver exemplos 3 e 4).

Quando comparamos dois coeficientes angulares de mesmo sinal (positivo com positivo, e negativo com negativo), vemos que o que muda entre eles é a inclinação da reta. Quanto maior for o módulo do número “a” (mais positivo ou mais negativo), maior é a inclinação da reta.

Variável “x” e constante “b”

Resolvemos explicar esses dois elementos juntos porque, graficamente, os elementos “x” e “b” representam o ponto onde a reta corta os eixos x e y, respectivamente. Veja na figura abaixo:

Note que o “b” corta o eixo y. Portanto, quando b=0 nos teremos uma reta que intercepta o y na origem do sistema, ou mais precisamente, no ponto zero.

Já para saber onde o “x” intercepta o eixo X é preciso resolver a equação. Ou seja, quando você resolve a equação do tipo ax + b = 0 você estará encontrando o ponto que a reta intercepta o eixo x. Por exemplo, vejamos a função f(x) = 2x – 6:

Resolvendo a equação temos: 2x – 6 = 0

2x = 6

x = 6/2

x = 3

Assim, o gráfico da função f(x)=2x – 6 é representado da seguinte forma:

Veja que o eixo y é cortado em -6 e o eixo x é cortado em 3.

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